LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA
En el siguiente video descubriremos cómo calcular el área de una circunferencia y resolveremos algunas situaciones problemáticas
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
La mediatriz es la línea, perpendicular al segmento, que lo corta en su punto medio.
En el siguiente video verás cómo se traza y debajo te dejo escritos cada uno de los pasos:
Para trazar la mediatriz es necesario:
1) Tener un segmento o dibujarlo de cualquier medida.
2) Abrir el compás con una medida mayor a la mitad del segmento.
3) Pinchar el compás en un extremo del segmento y trazar un arco a cada lado del segmento o un arco completo.
4) Proceder de igual modo, pinchando en el otro extremo del segmento.
5) Los arcos se cortaron a ambos lados del segmento, determinando un punto. Unir esos puntos con una línea recta punteada. Esta línea es la mediatriz
ÁREA cuadriláteros no paralelogramos
Para calcular el área o la superficie que ocupa un rectángulo, es necesario conocer la medida de la
base (b) y la altura (h)
Área = b . h
Trapecio: de un rectángulo se pueden obtener 2 trapecios iguales. La base del rectángulo es igual a la suma de la base mayor (B) y de la base menor (b) del trapecio
Romboide:
de un rectángulo se pueden obtener 2 romboides iguales. La base del rectángulo
medirá lo mismo que una de las diagonales. La altura del rectángulo medirá lo
mismo que la otra diagonal
Área = D . d
2
En el siguiente video podrás ver cómo descubrimos las fórmulas para calcular el área y cómo resolver las siguientes situaciones problemáticas:
- La altura y la base mayor de un trapecio miden, respectivamente, 8 dm y 14,6 dm. Si la base menor excede a la altura en 3 dm. ¿Qué superficie ocupará ese trapecio?
- La base mayor y la altura de un trapecio miden, respectivamente, 6 m y 3 m. Si tiene un área de 15 m2. ¿Cuánto medirá la base menor?
- Calcular el área que ocupará un romboide, sabiendo que sus diagonales miden 27 dm y 140 cm
ÁREA cuadriláteros paralelogramos
Para calcular el área o la superficie que ocupa un rectángulo, es necesario conocer la medida de la
base (b) y la altura (h)
Área = b . h
En un cuadrado
la base y la altura son de la misma medida
Por lo
tanto área = l . l = l 2
Paralelogramo propiamente dicho:
de
un rectángulo podemos obtener un paralelogramo propiamente dicho
Área = b . h
Rombo: de un rectángulo se pueden obtener 2
rombos iguales. La base del rectángulo medirá lo mismo que una de
las diagonales. La altura del rectángulo medirá lo mismo que la otra diagonal
Área = b . h
2
En el siguiente video verás cómo logramos deducir las fórmulas para calcular el área y cómo resolvimos las siguientes situaciones problemáticas:
ÁREA: triángulos
Para calcular el área o la superficie que ocupa un rectángulo, es necesario conocer la medida de la
base (b) y la altura (h)
Área = b . h
De un rectángulo podemos obtener dos triángulos
rectángulos iguales.
Por lo tanto el área de un triángulo será:
Área = b . h
2
En el siguiente video podrás ver cómo hicimos la deducción de las fórmulas y verás cómo resolvimos 3 situaciones problemáticas:
- ¿Qué superficie de lona será necesaria para construir cada una de las velas de este barco?
CUADRILÁTEROS: paralelogramos propiamente dicho
Un paralelogramo propiamente dicho tiene las siguientes características:
Tiene dos pares de lados paralelos
Los lados opuestos son congruentes.
Los ángulos opuestos tienen la misma abertura
Las diagonales son de diferente medida y se cortan en el punto medio
(Colores iguales, medidas iguales)
Para dibujar un paralelogramo propiamente dicho se pueden realizar diferentes procedimientos, según los datos que se conozcan.
Conociendo la medida de los lados se puede dibujar:
Con regla y escuadra:
Con regla y compás:
Tiene dos pares de lados paralelos
Los lados opuestos son congruentes.
Los ángulos opuestos tienen la misma abertura
Las diagonales son de diferente medida y se cortan en el punto medio
Para dibujar un paralelogramo propiamente dicho se pueden realizar diferentes procedimientos, según los datos que se conozcan.
Conociendo la medida de los lados se puede dibujar:
Con regla y escuadra:
Con regla y compás:
Para dibujar los paralelogramos conociendo la medida de sus lados debo seguir los siguientes pasos:
USANDO REGLA Y ESCUADRA:
Dibujo uno de los lados con una de las medidas.
A partir de uno de los extremos de lado trazado, dibujo otro segmento con la otra medida.
Apoyo la escuadra en uno de los lados dibujados, apoyo la regla en el otro lado de la escuadra que forma el ángulo recto y deslizo la escuadra, sin despegarla de la regla, hasta que llego al otro extremo del lado. Trazo el lado paralelo al que apoyé la escuadra.
Hago lo mismo con el otro lado.
Así quedará formado el paralelogramo propiamente dicho, sólo falta escribir una letra a cada uno de los vértices.
USANDO REGLA Y COMPÁS:
Dibujo uno de los lados con una de las medidas indicadas.
A partir de uno de los extremos de lado trazado, dibujo otro segmento con la otra medida.
Abro el compás de la medida del lado más largo, pinchando en uno de los extremos de ese lado y haciendo que la punta llegue al otro extremo.
Con esa abertura pinchar en el extremo no compartido del lado corto y trazar un arco.
Abro el compás de la medida del lado más corto, tal como se explicó en el paso 3 para el lado más largo.
Con esa abertura pinchar en el vértice no compartido del lado largo y trazar un arco que corte al anterior.
Si los arcos no se cortan, volver a realizar los pasos del 3 al 6 y dibujar arcos más largos.
En el punto donde los arcos se cortaron tendré el cuarto vértice del paralelogramo. Sólo debo trazar dos lados uno hasta el extremo no compartido del lado corto y el otro al extremo no compartido del lado largo.
Podría ser que me indiquen la medida de DOS LADOS Y EL ÁNGULO comprendido entre ellos. Para poder dibujarlo, en el primer paso debo dibujar el ángulo con la medida indicada y a cada lado darle la medida correspondienteDibujo uno de los lados con una de las medidas indicadas.
A partir de uno de los extremos de lado trazado, dibujo otro segmento con la otra medida.
Abro el compás de la medida del lado más largo, pinchando en uno de los extremos de ese lado y haciendo que la punta llegue al otro extremo.
Con esa abertura pinchar en el extremo no compartido del lado corto y trazar un arco.
Abro el compás de la medida del lado más corto, tal como se explicó en el paso 3 para el lado más largo.
Con esa abertura pinchar en el vértice no compartido del lado largo y trazar un arco que corte al anterior.
Si los arcos no se cortan, volver a realizar los pasos del 3 al 6 y dibujar arcos más largos.
En el punto donde los arcos se cortaron tendré el cuarto vértice del paralelogramo. Sólo debo trazar dos lados uno hasta el extremo no compartido del lado corto y el otro al extremo no compartido del lado largo.
CUADRILÁTEROS: trapecios
Los trapecios son cuadriláteros no paralelogramos que poseen solamente 1 par de lados paralelos. Se pueden clasificar en isósceles, rectángulo y escaleno. Tienen las siguientes características:
TRAPECIO ISÓSCELES:
Tiene un par de lados paralelos llamados bases
Tiene un par de lados congruentes no paralelos
Dos pares de ángulos congruentes (los dos de la base menor y dos de la base mayor)
TRAPECIO RECTÁNGULO:
Tiene un par de lados paralelos llamados bases.
Un lado es perpendicular a las bases
TRAPECIO ESCALENO:
Tiene un par de lados paralelos llamados bases.
Para dibujar el trapecio isósceles se pueden seguir los pasos detallados en el siguiente video:
TRAPECIO ISÓSCELES:
Tiene un par de lados paralelos llamados bases
Tiene un par de lados congruentes no paralelos
Dos pares de ángulos congruentes (los dos de la base menor y dos de la base mayor)
TRAPECIO RECTÁNGULO:
Tiene un par de lados paralelos llamados bases.
Un lado es perpendicular a las bases
TRAPECIO ESCALENO:
Tiene un par de lados paralelos llamados bases.
Para dibujar el trapecio isósceles se pueden seguir los pasos detallados en el siguiente video:
CUADRILÁTEROS: romboide
Un romboide tiene las siguientes características:
Conociendo la medida de las diagonales es posible dibujar un romboide y es posible verlo en el siguiente video:
- No tiene lados paralelos
- Tiene dos pares de lados consecutivos congruentes
- Un par de ángulos de la misma abertura (formados por los lados de diferente tamaño)
- Las diagonales son perpendiculares y la diagonal mayor corta a la menor en su punto medio.
Conociendo la medida de las diagonales es posible dibujar un romboide y es posible verlo en el siguiente video:
CUADRILÁTEROS: rombo
Un rombo es un cuadrilátero que tiene las siguientes características:
Para dibujar un rombo, a partir de la medida de uno de sus lados, se pueden seguir dos procedimientos:
1) Usando regla y compás. Se puede observar en el siguiente video:
2) Usando regla y escuadra (ver este video)
También se puede dibujar conociendo la medida de las diagonales. (ver video)
- Dos pares de lados paralelos
- Los 4 lados son congruentes (de la misma medida)
- Los ángulos opuestos tienen la misma amplitud
- Las diagonales son perpendiculares y se cortan en el punto medio.
Para dibujar un rombo, a partir de la medida de uno de sus lados, se pueden seguir dos procedimientos:
1) Usando regla y compás. Se puede observar en el siguiente video:
2) Usando regla y escuadra (ver este video)
También se puede dibujar conociendo la medida de las diagonales. (ver video)
DIVISIONES POR UNA CIFRA (método francés corta)
El cociente de una división, usando el método francés, podría convertirse en una suma de muchos números 100; 10 ó 1. Para quienes ya están familiarizados con el sistema, existe una forma más breve de llegar al resultado, al considerar otras multiplicaciones con cifras seguidas de ceros. Por ejemplo:
2 x 2 = 4 3 x 2 = 6
2 x 20 = 40 3 x 20 = 60
2 x 200 = 400 3 x 200 = 600
Una de las ventajas de este sistema, respecto del tradicional, es que el alumno puede resolver la división por diferentes caminos y llegar siempre a un resultado correcto.
En el siguiente video se podrá ver el procedimiento realizado en un par de ejemplos:
2 x 2 = 4 3 x 2 = 6
2 x 20 = 40 3 x 20 = 60
2 x 200 = 400 3 x 200 = 600
Una de las ventajas de este sistema, respecto del tradicional, es que el alumno puede resolver la división por diferentes caminos y llegar siempre a un resultado correcto.
En el siguiente video se podrá ver el procedimiento realizado en un par de ejemplos:
DIVISIONES POR UNA CIFRA (método francés)
El método francés para resolver la división, tiene en cuenta que es muy fácil multiplicar por 1; 10; 100, etc.
Por ejemplo:
2 x 1 = 2
2 x 10 = 20
2 x 100 = 200
Este concepto fácil de adquirir, sirve para que, a través de sucesivas restas en el dividendo y sumas en el cociente, se pueda acceder al resultado de la división.
En el siguiente video se podrán ver un par de ejemplos sencillos, aplicados a la solución de situaciones problemáticas:
Por ejemplo:
2 x 1 = 2
2 x 10 = 20
2 x 100 = 200
Este concepto fácil de adquirir, sirve para que, a través de sucesivas restas en el dividendo y sumas en el cociente, se pueda acceder al resultado de la división.
En el siguiente video se podrán ver un par de ejemplos sencillos, aplicados a la solución de situaciones problemáticas:
HEXÁGONO REGULAR
En el siguiente video podrás ver cómo dibujar un hexágono regular:
Los pasos usados para trazar el hexágono regular son:
1) Dibujar una circunferencia.
2) Trazar un radio.
3) Dividir el círculo en 6 partes iguales, para ello es necesario calcular la medida del ángulo: 360° : 6 = 60°
4) Dibujar los 6 ángulos consecutivos, de 60° cada uno.
5) En el punto donde cada uno de los radios o lados de los ángulos tocó la circunferencia, hay un vértice del hexágono. Trazar los lados del hexágono regular.
6) En cada vértice escribir una letra.
Otra forma:
1) Hacer los pasos 1; 2 y 3 de la explicación anterior.
2) Dibujar un solo ángulo.
3) Marcar el punto donde cada radio o lado del ángulo tocó la circunferencia y usarlos para abrir el compás con una distancia igual a la existente entre esos puntos.
4) Manteniendo esa abertura del compás, hacer marcas a igual distancia sobre la circunferencia. En el punto en que dichas marcas cortan la circunferencia, hay un vértice.
5) Usar los vértices para trazar los 6 lados del polígono.
6) Escribir una letra en cada vértice.
Los pasos usados para trazar el hexágono regular son:
1) Dibujar una circunferencia.
2) Trazar un radio.
3) Dividir el círculo en 6 partes iguales, para ello es necesario calcular la medida del ángulo: 360° : 6 = 60°
4) Dibujar los 6 ángulos consecutivos, de 60° cada uno.
5) En el punto donde cada uno de los radios o lados de los ángulos tocó la circunferencia, hay un vértice del hexágono. Trazar los lados del hexágono regular.
6) En cada vértice escribir una letra.
Otra forma:
1) Hacer los pasos 1; 2 y 3 de la explicación anterior.
2) Dibujar un solo ángulo.
3) Marcar el punto donde cada radio o lado del ángulo tocó la circunferencia y usarlos para abrir el compás con una distancia igual a la existente entre esos puntos.
4) Manteniendo esa abertura del compás, hacer marcas a igual distancia sobre la circunferencia. En el punto en que dichas marcas cortan la circunferencia, hay un vértice.
5) Usar los vértices para trazar los 6 lados del polígono.
6) Escribir una letra en cada vértice.
OCTÓGONO REGULAR
En el siguiente video verás cómo dibujar un octógono regular:
Los pasos seguidos para dibujar el octógono regular son:
1) Trazar una circunferencia.
2) Trazar un radio.
3) Dividir la circunferencia en 8 partes iguales, para eso calcular el ángulo correspondiente: 360° : 8 = 45°
4) Dibujar los 8 ángulos consecutivos de 45°,
5) En el punto donde cada radio o lado del ángulo toca la circunferencia, hay un vértice del octógono.
6) Trazar los lados del octógono y escribir una letra en cada vértice,
Otra forma:
1) Hacer los tres primeros pasos anteriores.
2) Dibujar un solo ángulo de 45°.
3) En el punto donde cada lado del ángulo o radio toca a la circunferencia, se determina un punto. Abrir el compás con una medida igual a la distancia entre esos puntos.
4) Siempre con esa abertura del compás hacer marcas sobre la circunferencia. En el punto donde estas marcas cortan al borde del círculo, será un vértice del polígono.
5) Dibujar los lados del octógono y escribir una letra en cada vértice.
Los pasos seguidos para dibujar el octógono regular son:
1) Trazar una circunferencia.
2) Trazar un radio.
3) Dividir la circunferencia en 8 partes iguales, para eso calcular el ángulo correspondiente: 360° : 8 = 45°
4) Dibujar los 8 ángulos consecutivos de 45°,
5) En el punto donde cada radio o lado del ángulo toca la circunferencia, hay un vértice del octógono.
6) Trazar los lados del octógono y escribir una letra en cada vértice,
Otra forma:
1) Hacer los tres primeros pasos anteriores.
2) Dibujar un solo ángulo de 45°.
3) En el punto donde cada lado del ángulo o radio toca a la circunferencia, se determina un punto. Abrir el compás con una medida igual a la distancia entre esos puntos.
4) Siempre con esa abertura del compás hacer marcas sobre la circunferencia. En el punto donde estas marcas cortan al borde del círculo, será un vértice del polígono.
5) Dibujar los lados del octógono y escribir una letra en cada vértice.
HEPTÁGONO REGULAR
En el siguiente video podrás ver cómo dibujar un heptágono regular:
Los pasos que seguimos para dibujar el heptágono regular fueron:
1) Marcar un punto en la hoja
2) Con el compás trazar una circunferencia.
3) Trazar un radio.
4) Calcular el ángulo que corresponde para dividir a la circunferencia en 7 partes iguales, haciendo la siguiente cuenta: 360° : 7 = 51° 25'
5) Con el transportador marcar ángulos consecutivos de, aproximadamente, 51° 25'.
6) Usar esas marcas para dibujar los radios para que la circunferencia quede dividida en 7 partes iguales.
7) En el punto donde los radios cortan la circunferencia, hay un vértice del heptágono.
8) Dibujar los 7 lados y colocar una letra en cada vértice.
Otro procedimiento:
1) Realizar los 4 primeros pasos descritos anteriormente.
2) Dibujar un ángulo de, aproximadamente 51° 25' .
3) Los dos radios que formaron el ángulo determinan dos puntos sobre la circunferencia. Abrir el compás con una medida igual a la distancia entre esos puntos.
4) Usar esa abertura para hacer marcas a igual distancia sobre la circunferencia.
5) Cada marca sobre la circunferencia determina un punto que será un vértice del heptágono.
6) Dibujar los 7 lados y colocar una letra en cada vértice.
Los pasos que seguimos para dibujar el heptágono regular fueron:
1) Marcar un punto en la hoja
2) Con el compás trazar una circunferencia.
3) Trazar un radio.
4) Calcular el ángulo que corresponde para dividir a la circunferencia en 7 partes iguales, haciendo la siguiente cuenta: 360° : 7 = 51° 25'
5) Con el transportador marcar ángulos consecutivos de, aproximadamente, 51° 25'.
6) Usar esas marcas para dibujar los radios para que la circunferencia quede dividida en 7 partes iguales.
7) En el punto donde los radios cortan la circunferencia, hay un vértice del heptágono.
8) Dibujar los 7 lados y colocar una letra en cada vértice.
Otro procedimiento:
1) Realizar los 4 primeros pasos descritos anteriormente.
2) Dibujar un ángulo de, aproximadamente 51° 25' .
3) Los dos radios que formaron el ángulo determinan dos puntos sobre la circunferencia. Abrir el compás con una medida igual a la distancia entre esos puntos.
4) Usar esa abertura para hacer marcas a igual distancia sobre la circunferencia.
5) Cada marca sobre la circunferencia determina un punto que será un vértice del heptágono.
6) Dibujar los 7 lados y colocar una letra en cada vértice.
DIBUJAR POLÍGONOS
Para dibujar un polígono regular de 5 lados o más, debo
seguir los siguientes pasos:
1) Dibujar
una circunferencia.
2) Trazar
un radio
3) Dividir
el círculo en tantas partes como lados posea el polígono a dibujar. Dentro de
la circunferencia tenemos un ángulo de un giro = 360°. Por ejemplo, para
dibujar un octógono (8 lados) se deberá calcular 360° : 8
4) Con el
transportador, marcar los ángulos, uno a continuación del otro, con la medida
obtenida como resultado de la división.
5) El punto
donde el lado de cada ángulo corta a la circunferencia será un vértice del
polígono. Dibujar los lados de la figura
6) En cada
vértice colocar una letra
(Ver videos del hexágono regular, heptágono regular y octógono regular)
También se puede dibujar de la siguiente manera
1) Realizar los pasos 1; 2 y 3 listados anteriormente.
2) Usando el radio trazado, dibujar un solo ángulo de la medida correspondiente.
3) En el lugar donde los radios tocan la circunferencia quedan determinados dos puntos. Abrir el compás con la medida correspondiente a la distancia entre esos dos puntos.
4) Con esa abertura hacer marcas a igual distancia sobre la circunferencia. La última marca debe coincidir con la primera.
5) En el punto donde las marcas cortaron a la circunferencia estará uno de los vértices del polígono.
6) Trazar los lados del polígono y escribir una letra en cada vértice
POLÍGONOS: CARACTERÍSTICAS
POLÍGONO es una figura cerrada,
limitada por varios lados.
Elementos de un polígono:
lados, ángulos interiores, ángulos exteriores, diagonales, vértices
Según la cantidad de lados que posea un polígono, recibirá
un nombre diferente:
Cantidad de lados
|
Nombre
|
3
|
Triángulo
|
4
|
Cuadrilátero
|
5
|
Pentágono
|
6
|
Hexágono
|
7
|
Heptágono
|
8
|
Octógono
|
9
|
Eneágono
|
10
|
Decágono
|
11
|
Undecágono
|
12
|
Dodecágono
|
15
|
Pentadecágono
|
20
|
Icoságono
|
Un polígono es regular cuando todos los lados y sus ángulos interiores son de
la misma medida.
Un polígono es irregular cuando, al menos uno de los
lados o de sus ángulos interiores, es de diferente medida
RECTAS PARALELAS Y SECANTES
Dos rectas en un plano pueden ser paralelas o secantes. En este video podrás descubrirlas:
Posiciones de dos rectas en el plano:
- RECTAS PARALELAS: no se cortan.
- RECTAS SECANTES: se cortan en un punto.
- Serán PERPENDICULARES si al cortarse forman 4 ángulos rectos.
- Serán OBLICUAS si al cortarse no forman ángulos rectos.
Las palabras paralelas, secantes perpendiculares y secantes oblicuas se pueden escribir mediante un signo que es posible ver en las imágenes.
NÚMEROS ROMANOS
Para aprender o recordar este tema puedes ver el siguiente video o leer el texto que sigue.
El sistema de numeración romana es no posicional, es decir que cada símbolo mantiene su valor, independientemente del lugar en el que se lo ubique,
El sistema de numeración romana es no posicional, es decir que cada símbolo mantiene su valor, independientemente del lugar en el que se lo ubique,
Los símbolos que se usan son solamente: I, V, X, L, C, D, M
Ellos corresponden a los siguientes números:
I = 1 X =
10 C = 100 M = 1000
V = 5 L =
50 D = 500
Los números del primer renglón pueden repetirse hasta 3
veces y los valores se suman:
I = 1 X = 10
II = 2 (1 +
1) XX = 20 (10 + 10)
III= 3 (1 + 1
+ 1) XXX = 30 (10 + 10 + 10)
C = 100 M = 1000
CC = 200 (100 +
100) MM = 2000 (1000 + 1000)
CCC = 300 (100 +
100 + 100) MMM
= 3000 (1000 + 1000 + 1000)
Los números del segundo renglón, correspondientes a 5; 50 y
500, NO se pueden repetir.
Sólo seis números se forman restando:
IV = 4 (5 –
1) IX = 9 (10 – 1)
XL = 40 (50 –
10) XC = 90 (100 – 10)
CD= 400 (500 –
100)
CM = 900 (1000 – 100)
Para pasar un número del sistema decimal al romano, es
conveniente primero hacer la descomposición del número y luego reemplazarlo por
los símbolos correspondientes.
Ejemplo:
1.752 = 1.000 + 700 + 50 + 2
1.752 = M DCC
L II
3.918 = 3.000 + 900 + 10 + 8
3.918 = MMM CM
X VIII
Para escribir otros números mayores a 3.000, con unidades,
decenas y centenas de mil, se usarán los símbolos anteriores, a los que se le
agregará una raya horizontal que los multiplicará por mil. Ejemplo:
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